Trwa nabór 2026/27
Kurs maturalny z informatyki

A(m, n) =

Zadanie 1.1. (0–3)

Obliczenie wartości funkcji A(3, 9) wprost z definicji wymaga trzech wywołań rekurencyjnych: A(3, 4), A(6, 2), A(12, 1), ponieważ:

A(3, 9) = 2 · A(3, 4) + 3 = 2 · A(6, 2) + 3 = 2 · A(12, 1) + 3 = 2 · 12 + 3 = 27

Uzupełnij poniższą tabelę. Podaj liczbę wywołań rekurencyjnych funkcji A oraz wypisz wywołania rekurencyjne wraz z ich argumentami — w ostatnim wierszu podaj tylko liczbę wywołań rekurencyjnych.

Zadanie 1.2. (0–1)

Uzupełnij poniższą tabelę. Podaj wartości funkcji A(m, n) dla zadanych argumentów m i n:

Uwaga: W swoich odpowiedziach możesz zapisać wynik podobnie jak wartości w pierwszych dwóch kolumnach, z wykorzystaniem operatorów mnożenia i potęgowania.

Zadanie 1.3. (0–3)

Uzupełnij tabelę. W drugiej kolumnie podaj liczbę wywołań rekurencyjnych funkcji A dla każdej wartości n podanej w tabeli. W trzeciej kolumnie podaj wyrażenie, którego wartość jest równa drugiemu argumentowi funkcji w i-tym wywołaniu rekurencyjnym.

gdzie k jest pewną liczbą całkowitą dodatnią większą od 2.

Zadanie 2.1. (0–1)

Dla podanych par liczb a i b określ, ile razy pojawi się przeniesienie podczas ich dodawania pisemnego.

Zadanie 2.2. (0–4)

Napisz algorytm, który dla dwóch dodatnich liczb całkowitych a i b, mających taką samą liczbę cyfr, oblicza liczbę przeniesień powstających podczas ich dodawania pisemnego.

Idea rozwiązania

Przechodzimy po cyfrach od prawej do lewej. W każdej kolumnie dodajemy: cyfrę liczby a, cyfrę liczby b oraz ewentualne przeniesienie z poprzedniej kolumny. Jeśli suma jest większa lub równa 10, zwiększamy licznik przeniesień i ustawiamy przeniesienie na 1. W przeciwnym razie przeniesienie wynosi 0.

Rozwiązanie w Pythonie

def liczba_przeniesien(a, b):
    p = 0
    przeniesienie = 0

    while a > 0:
        cyfra_a = a % 10
        cyfra_b = b % 10

        suma = cyfra_a + cyfra_b + przeniesienie

        if suma >= 10:
            p += 1
            przeniesienie = 1
        else:
            przeniesienie = 0

        a //= 10
        b //= 10

    return p


# przykład
print(liczba_przeniesien(27732, 72619))  # 4

Rozwiązanie w C++

#include <iostream>
using namespace std;

int liczba_przeniesien(long long a, long long b)
{
    int p = 0;
    int przeniesienie = 0;

    while (a > 0)
    {
        int cyfra_a = a % 10;
        int cyfra_b = b % 10;

        int suma = cyfra_a + cyfra_b + przeniesienie;

        if (suma >= 10)
        {
            p++;
            przeniesienie = 1;
        }
        else
        {
            przeniesienie = 0;
        }

        a /= 10;
        b /= 10;
    }

    return p;
}

int main()
{
    cout << liczba_przeniesien(27732, 72619) << endl; // 4
    return 0;
}

Zadanie 3.1. (0–2)

Niech f(s) oznacza sumę kodów ASCII znaków występujących w słowie s. Podaj parę słów s₁, s₂ występujących w jednym wierszu pliku pary.txt, dla których wartość |f(s₁) − f(s₂)| jest największa, oraz podaj tę wartość.

Zadanie 3.2. (0–3)

Wspólną liczbę wystąpień litery x w słowach s₁, s₂ oznaczamy przez:

W(x, s₁, s₂) = minimum(d(x, s₁), d(x, s₂))

gdzie d(x, s) oznacza liczbę wystąpień litery x w słowie s.

Podaj parę słów występujących w jednym wierszu w pliku pary.txt, dla której suma wspólnych wystąpień wszystkich liter jest największa, oraz podaj tę sumę.

Zadanie 3.3. (0–4)

Prefiksosufiksem pary słów s₁, s₂ nazywamy słowo, które jest początkiem s₁ oraz końcem s₂ albo początkiem s₂ oraz końcem s₁.

Podaj wszystkie pary słów z pliku pary.txt, dla których najdłuższy prefiksosufiks ma co najmniej 5 liter. Dla każdej takiej pary podaj długość najdłuższego prefiksosufiksu.

bbbbaabbababbaaaa baaaaabaaabbbabab 5
aababbbababbbbbbaab bbbbaabbababababa 7
aaaababaaaabbbb aabbbbbabbbaaaa 6
bbbbabaaabbbabb aaababaabbbbbbba 5
ccccabacbba acbbabcbcbcbaa 5
caabbccabccc cabccccabbaac 6
abaacabcccccabbbc abbbcbbbbbcabaca 5

Rozwiązanie w Pythonie

def suma_ascii(s):
    suma = 0
    for znak in s:
        suma += ord(znak)
    return suma


def suma_wspolnych_wystapien(s1, s2):
    wynik = 0

    for kod in range(ord('a'), ord('z') + 1):
        litera = chr(kod)
        wynik += min(s1.count(litera), s2.count(litera))

    return wynik


def najdluzszy_prefiksosufiks(s1, s2):
    najlepszy = 0
    maks = min(len(s1), len(s2))

    for dl in range(1, maks + 1):
        # początek s1 i koniec s2
        if s1[:dl] == s2[-dl:]:
            najlepszy = dl

        # początek s2 i koniec s1
        if s2[:dl] == s1[-dl:]:
            najlepszy = dl

    return najlepszy


pary = []

with open("pary.txt", "r", encoding="utf-8") as plik:
    for wiersz in plik:
        s1, s2 = wiersz.split()
        pary.append((s1, s2))


# Zadanie 3.1
max_roznica = -1
odp_31 = ("", "", 0)

for s1, s2 in pary:
    roznica = abs(suma_ascii(s1) - suma_ascii(s2))

    if roznica > max_roznica:
        max_roznica = roznica
        odp_31 = (s1, s2, roznica)


# Zadanie 3.2
max_suma = -1
odp_32 = ("", "", 0)

for s1, s2 in pary:
    suma = suma_wspolnych_wystapien(s1, s2)

    if suma > max_suma:
        max_suma = suma
        odp_32 = (s1, s2, suma)


# Zadanie 3.3
odp_33 = []

for s1, s2 in pary:
    dl = najdluzszy_prefiksosufiks(s1, s2)

    if dl >= 5:
        odp_33.append((s1, s2, dl))


with open("wyniki3.txt", "w", encoding="utf-8") as wynik:
    wynik.write("3.1\\n")
    wynik.write(f"{odp_31[0]} {odp_31[1]} {odp_31[2]}\\n")

    wynik.write("\\n3.2\\n")
    wynik.write(f"{odp_32[0]} {odp_32[1]} {odp_32[2]}\\n")

    wynik.write("\\n3.3\\n")
    for s1, s2, dl in odp_33:
        wynik.write(f"{s1} {s2} {dl}\\n")

Rozwiązanie w C++

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <vector>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;

int suma_ascii(string s)
{
    int suma = 0;

    for (char znak : s)
        suma += int(znak);

    return suma;
}

int suma_wspolnych_wystapien(string s1, string s2)
{
    int licznik1[26] = {};
    int licznik2[26] = {};

    for (char znak : s1)
        licznik1[znak - 'a']++;

    for (char znak : s2)
        licznik2[znak - 'a']++;

    int wynik = 0;

    for (int i = 0; i < 26; i++)
        wynik += min(licznik1[i], licznik2[i]);

    return wynik;
}

int najdluzszy_prefiksosufiks(string s1, string s2)
{
    int najlepszy = 0;
    int maks = min(s1.size(), s2.size());

    for (int dl = 1; dl <= maks; dl++)
    {
        bool pierwszy = true;
        bool drugi = true;

        // początek s1 i koniec s2
        for (int i = 0; i < dl; i++)
        {
            if (s1[i] != s2[s2.size() - dl + i])
                pierwszy = false;
        }

        // początek s2 i koniec s1
        for (int i = 0; i < dl; i++)
        {
            if (s2[i] != s1[s1.size() - dl + i])
                drugi = false;
        }

        if (pierwszy || drugi)
            najlepszy = dl;
    }

    return najlepszy;
}

int main()
{
    ifstream wejscie("pary.txt");
    ofstream wynik("wyniki3.txt");

    vector<pair<string, string>> pary;
    string s1, s2;

    while (wejscie >> s1 >> s2)
        pary.push_back({s1, s2});

    // Zadanie 3.1
    int max_roznica = -1;
    string odp31_s1, odp31_s2;

    for (auto para : pary)
    {
        string a = para.first;
        string b = para.second;

        int roznica = abs(suma_ascii(a) - suma_ascii(b));

        if (roznica > max_roznica)
        {
            max_roznica = roznica;
            odp31_s1 = a;
            odp31_s2 = b;
        }
    }

    // Zadanie 3.2
    int max_suma = -1;
    string odp32_s1, odp32_s2;

    for (auto para : pary)
    {
        string a = para.first;
        string b = para.second;

        int suma = suma_wspolnych_wystapien(a, b);

        if (suma > max_suma)
        {
            max_suma = suma;
            odp32_s1 = a;
            odp32_s2 = b;
        }
    }

    // Zapis wyników
    wynik << "3.1\\n";
    wynik << odp31_s1 << " " << odp31_s2 << " " << max_roznica << "\\n\\n";

    wynik << "3.2\\n";
    wynik << odp32_s1 << " " << odp32_s2 << " " << max_suma << "\\n\\n";

    wynik << "3.3\\n";

    for (auto para : pary)
    {
        string a = para.first;
        string b = para.second;

        int dl = najdluzszy_prefiksosufiks(a, b);

        if (dl >= 5)
            wynik << a << " " << b << " " << dl << "\\n";
    }

    return 0;
}

Przykład 1.

W przykładowej hierarchii:

• pracownik 1 jest prezesem,
• bezpośrednim przełożonym pracowników 2 i 4 jest pracownik 1,
• bezpośrednim przełożonym pracowników 3, 5 i 6 jest pracownik 2,
• bezpośrednim przełożonym pracownika 7 jest pracownik 3,
• bezpośrednim przełożonym pracownika 8 jest pracownik 4.

Przełożonymi pracownika 7 są pracownicy 3, 2 i 1. Bezpośrednim przełożonym pracownika 7 jest pracownik 3. Podwładnymi pracownika 2 są pracownicy 3, 5, 6 i 7.

Zadanie 4.1. (0–1)

Dla każdego pracownika z przykładowej hierarchii określ, ilu ma on bezpośrednich podwładnych oraz ilu ma wszystkich podwładnych.

Informacja do zadań 4.2–4.4

Dany jest plik korpo.txt zawierający n = 50 000 liczb, który opisuje strukturę korporacji.

W pierwszym wierszu znajduje się liczba 0, oznaczająca brak przełożonego dla prezesa korporacji, który ma numer 1. W i-tym wierszu pliku, dla 2 ≤ i ≤ 50 000, znajduje się numer pracownika, który jest bezpośrednim przełożonym pracownika i.

Odpowiedzi do zadań zapisz w pliku wyniki4.txt, poprzedzając każdą odpowiedź numerem odpowiedniego zadania.

Zadanie 4.2. (0–2)

Na podstawie danych zapisanych w pliku korpo.txt podaj, ilu pracowników nie jest przełożonym żadnego pracownika.

Zadanie 4.3. (0–2)

Podaj, który pracownik spośród zapisanych w pliku korpo.txt ma najwięcej bezpośrednich podwładnych. Podaj numer tego pracownika oraz liczbę jego bezpośrednich podwładnych.

Zadanie 4.4. (0–3)

Policz, ilu najwięcej przełożonych ma jeden pracownik. Podaj tę liczbę oraz podaj, ilu pracowników ma taką liczbę przełożonych.

Idea rozwiązania

Wczytujemy tablicę przelozony, w której przelozony[i] oznacza bezpośredniego przełożonego pracownika i.

• W zadaniu 4.2 szukamy pracowników, którzy nie pojawiają się jako przełożeni żadnego innego pracownika.
• W zadaniu 4.3 zliczamy, ilu bezpośrednich podwładnych ma każdy pracownik.
• W zadaniu 4.4 obliczamy głębokość każdego pracownika w drzewie hierarchii, czyli liczbę jego przełożonych.

Rozwiązanie w Pythonie

# Zadanie 4. Korporacja

with open("korpo.txt", "r", encoding="utf-8") as plik:
    dane = [int(wiersz.strip()) for wiersz in plik if wiersz.strip()]

n = len(dane)

# pracownicy numerowani są od 1, więc dodajemy fikcyjne pole na indeksie 0
przelozony = [0] + dane

# liczba bezpośrednich podwładnych każdego pracownika
bezposredni = [0] * (n + 1)

for pracownik in range(2, n + 1):
    szef = przelozony[pracownik]
    bezposredni[szef] += 1


# Zadanie 4.2
liczba_bez_podwladnych = 0

for pracownik in range(1, n + 1):
    if bezposredni[pracownik] == 0:
        liczba_bez_podwladnych += 1


# Zadanie 4.3
max_bezposrednich = -1
pracownik_max = -1

for pracownik in range(1, n + 1):
    if bezposredni[pracownik] > max_bezposrednich:
        max_bezposrednich = bezposredni[pracownik]
        pracownik_max = pracownik


# Zadanie 4.4
liczba_przelozonych = [0] * (n + 1)

for pracownik in range(2, n + 1):
    liczba_przelozonych[pracownik] = liczba_przelozonych[przelozony[pracownik]] + 1

max_przelozonych = max(liczba_przelozonych[1:])

ilu_ma_max = 0
for pracownik in range(1, n + 1):
    if liczba_przelozonych[pracownik] == max_przelozonych:
        ilu_ma_max += 1


with open("wyniki4.txt", "w", encoding="utf-8") as wynik:
    wynik.write("4.2\\n")
    wynik.write(str(liczba_bez_podwladnych) + "\\n\\n")

    wynik.write("4.3\\n")
    wynik.write(str(pracownik_max) + " " + str(max_bezposrednich) + "\\n\\n")

    wynik.write("4.4\\n")
    wynik.write(str(max_przelozonych) + " " + str(ilu_ma_max) + "\\n")

Rozwiązanie w C++

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <vector>
using namespace std;

int main()
{
    ifstream wejscie("korpo.txt");
    ofstream wynik("wyniki4.txt");

    vector<int> dane;
    int x;

    while (wejscie >> x)
        dane.push_back(x);

    int n = dane.size();

    vector<int> przelozony(n + 1);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        przelozony[i] = dane[i - 1];

    vector<int> bezposredni(n + 1, 0);

    for (int pracownik = 2; pracownik <= n; pracownik++)
    {
        int szef = przelozony[pracownik];
        bezposredni[szef]++;
    }

    // Zadanie 4.2
    int liczba_bez_podwladnych = 0;

    for (int pracownik = 1; pracownik <= n; pracownik++)
    {
        if (bezposredni[pracownik] == 0)
            liczba_bez_podwladnych++;
    }

    // Zadanie 4.3
    int max_bezposrednich = -1;
    int pracownik_max = -1;

    for (int pracownik = 1; pracownik <= n; pracownik++)
    {
        if (bezposredni[pracownik] > max_bezposrednich)
        {
            max_bezposrednich = bezposredni[pracownik];
            pracownik_max = pracownik;
        }
    }

    // Zadanie 4.4
    vector<int> liczba_przelozonych(n + 1, 0);

    for (int pracownik = 2; pracownik <= n; pracownik++)
    {
        liczba_przelozonych[pracownik] =
            liczba_przelozonych[przelozony[pracownik]] + 1;
    }

    int max_przelozonych = 0;

    for (int pracownik = 1; pracownik <= n; pracownik++)
    {
        if (liczba_przelozonych[pracownik] > max_przelozonych)
            max_przelozonych = liczba_przelozonych[pracownik];
    }

    int ilu_ma_max = 0;

    for (int pracownik = 1; pracownik <= n; pracownik++)
    {
        if (liczba_przelozonych[pracownik] == max_przelozonych)
            ilu_ma_max++;
    }

    wynik << "4.2\\n";
    wynik << liczba_bez_podwladnych << "\\n\\n";

    wynik << "4.3\\n";
    wynik << pracownik_max << " " << max_bezposrednich << "\\n\\n";

    wynik << "4.4\\n";
    wynik << max_przelozonych << " " << ilu_ma_max << "\\n";

    return 0;
}

Zadanie 5. (0–2)

Poniżej zapisano wyrażenie matematyczne zawierające liczby zapisane w systemach: piątkowym, dziesiętnym i trójkowym.

W miejsce kropek wpisz odpowiednie liczby zapisane w systemie piątkowym i trójkowym, tak aby obie równości były prawdziwe.

Poprawna odpowiedź

Krótkie sprawdzenie

Liczbę (1440)₅ zamieniamy na system dziesiętny:

(1440)₅ = 1 · 5³ + 4 · 5² + 4 · 5¹ + 0 = 245

Skoro wynik ma być równy 427, druga liczba w systemie piątkowym musi mieć wartość:

427 − 245 = 182 = (1212)₅

Z kolei:

(110002)₃ = 1 · 3⁵ + 1 · 3⁴ + 0 · 3³ + 0 · 3² + 0 · 3¹ + 2 = 326

Aby po odjęciu otrzymać 427, pierwsza liczba w systemie trójkowym musi mieć wartość:

427 + 326 = 753 = (1000220)₃

Zadanie 6. (0–1)

Uzupełnij zdania dotyczące długości adresów IP w wersji 4 oraz w wersji 6.

Poprawna odpowiedź

Zadanie 7.1. (0–3)

Utwórz zestawienie średnich miesięcznych temperatur w zaokrągleniu do jednego miejsca po przecinku. Na podstawie wykonanego zestawienia utwórz wykres kolumnowy, porównujący te wartości. Pamiętaj o czytelnym opisie wykresu: tytuł wykresu, opisy osi oraz oznaczenie miesięcy na osi X.

Zadanie 7.2. (0–2)

Dla każdego miesiąca wyznacz długość najdłuższego ciągu kolejnych dni bez opadów w tym miesiącu, czyli takich dni, dla których wartość opadów jest równa 0.

Informacja do zadań 7.3–7.4

Na potrzeby zadania przyjmujemy, że w kolejnym roku przez 184 dni, od 1 marca 2023 do 31 sierpnia 2023, temperatury i opady utrzymywały się na stałym poziomie, co pozwalało na regularny wzrost rzęsy wodnej w tempie rozrostu 1,75% dziennie. Przyrost rzęsy następował w nocy, a pomiar zarośnięcia stawu – rano.

1 marca 2023 rano staw był zarośnięty rzęsą w 20%, tj. rzęsa wodna zajmowała 2000 m².

Ponieważ staw nie powinien być zarośnięty w całości, właściciel postanowił pozbywać się nadmiaru rzęsy. Do zbiornika wpuścił 80 amurów białych, z których każdy zjadał w ciągu dnia 0,25 m² rzęsy wodnej. Dodatkowo co piątek w ciągu dnia odławiał 60 m² rzęsy wodnej.

Uwaga: 30 kwietnia rano staw był zarośnięty w 25,79%.

Zadanie 7.3. (0–2)

Podaj, w którym dniu, licząc od 1 marca 2023, pomiar wykazał, że rzęsa wodna po raz pierwszy zajęła więcej niż 75% powierzchni stawu.

Zadanie 7.4. (0–2)

Podaj, jaka jest najmniejsza liczba amurów białych, jaką musi wpuścić właściciel, by rzęsa wodna w całym badanym okresie zajmowała maksymalnie 50% powierzchni stawu.

Opis danych

Plik klienci.txt zawiera informacje o zarejestrowanych klientach: IdKlienta, Imie, Nazwisko, Plec.

Plik transakcje.txt zawiera informacje o dokonanych transakcjach: IdTransakcji, DataTransakcji, IdKlienta, IdSklepu, IdSprzedawcy. Jeśli klient korzystał z kasy samoobsługowej, pole IdSprzedawcy jest puste.

Plik opis_transakcji.txt zawiera informacje o produktach zakupionych w danej transakcji: IdTransakcji, IdProduktu, Cena, Liczba.

Zadanie 8.1. (0–1)

Podaj imię i nazwisko klienta, który dokonał łącznie najwięcej transakcji w całym analizowanym okresie.

Zadanie 8.2. (0–2)

Podaj, ile kobiet (K) oraz ilu mężczyzn (M) spośród klientów sieci sklepów nie kupiło niczego w całym analizowanym okresie.

Zadanie 8.3. (0–2)

Podaj liczbę różnych sklepów, w których dokonano transakcji w kasach samoobsługowych, oraz podaj, ile zapłacono łącznie za zakupy w tych kasach.

Zadanie 8.4. (0–2)

Niektórzy sprzedawcy pracowali w różnych sklepach sieci w ciągu miesiąca. Podaj IdSprzedawcy, który obsługiwał klientów w największej liczbie różnych sklepów w jednym miesiącu, oraz podaj ten miesiąc — nazwę lub numer.

Zadanie 8.5. (0–2)

Do bazy danych utworzonej na podstawie opisanych wcześniej plików dodano dwie kolejne tabele: Produkty i Kategorie, w których zapisano informacje o sprzedawanych produktach.

Tabela Kategorie zawiera pola: IdKategorii oraz NazwaKategorii.

Tabela Produkty zawiera pola: IdProduktu, IdKategorii, Nazwa, Opis.

Napisz w języku SQL zapytanie, w wyniku którego zostaną wypisane wszystkie zakupione produkty — IdProduktu i Nazwa — z kategorii „spozywcze”, zawierające w opisie fragment: „do ekspresu kolbowego”.

SELECT DISTINCT
    Produkty.IdProduktu,
    Produkty.Nazwa
FROM
    (Kategorie
    INNER JOIN Produkty
        ON Kategorie.IdKategorii = Produkty.IdKategorii)
    INNER JOIN opis_transakcji
        ON Produkty.IdProduktu = opis_transakcji.IdProduktu
WHERE
    Kategorie.NazwaKategorii = "spozywcze"
    AND Produkty.Opis LIKE "*do ekspresu kolbowego*";